Adaptative multipliers for extrapolation in frequency
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Date
2025
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Abstract
Reconstruir un objeto a partir de una cantidad finita de mediciones es un problema clásico de las matemáticas aplicadas. Dado que cualquier conjunto finito de mediciones está contenido en conjunto compacto, es por ende de interés el poder realizar la tarea de extrapolar la transformada de Fourier de un objeto de una región acotada a todo el espacio. Esta tarea se conoce como extrapolación de frecuencias. Este problema está mal puesto a expensas de supuestos adicionales sobre la estructura del objeto. Se sabe que cuando el objeto está soportado en un compacto, su transformada de Fourier puede ser extendida a todo el espacio. Mas sin embargo, es conocido que ese problema está mal condicionado. En este trabajo, asumimos que el objeto pertenece a una colección de funciones a soporte compacto. Además, en lugar de extrapolar a todo el espacio, estudiamos el problema de extrapolación a un dominio acotado utilizando dilaciones en frecuencia con un multiplicador de Fourier evocando la ecuación de refinamiento del área de análisis de multiresolución. Bajo condiciones adecuadas, demostramos la existencia de un multiplicador óptimo en el peor caso sobre la colección, y probamos que dichos multiplicadores comparten una misma estructura canónica. Cuando la colección es finita, probamos que el multiplicador óptimo en el peor caso, es representado por una matriz Hermitiana Σ e introducimos una iteración de punto fijo para obtenerla. Con esto, introducimos la familia de multiplicadores, que denominamos los Σ-multiplicadores, para extrapolación de frecuencias. Adicionalmente establecemos la conexión entre los Σ-multiplicadores y análisis multiresolución. Concluimos con experimentos numéricos para ilustrar las consecuencias prácticas de nuestros resultados teóricos.
Description
Tesis (Master of Science in Engineering)--Pontificia Universidad Católica de Chile, 2025
Keywords
Extrapolación de frecuencias, Análisis de multiresolución, Multiplicadores de Fourier, Ecuación de refinamiento, Filtros adaptativos