3.22 Facultad de Matemáticas
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- ItemValue added in hierarchical linear mixed model with error in variables(2018) Polo González, Mayo Luz; San Martín, Ernesto; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
- ItemAnalysis of irregularly spaced time series(2019) Ojeda Echeverri, César Andrés; Palma M., Wilfredo; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasIn this thesis, we propose novel stationary time series models that can be used when the observations are taken on irregularly spaced times. First, we present a model with a firstorder moving average structure, and then we generalized it to consider an autoregressive component. We called the first model irregularly spaced first-order moving average and the second one irregularly spaced first-order autoregressive moving average. Their definitions and properties are established. We present their state-space representations and their one-step linear predictors. The behavior of the maximum likelihood estimator is studied through Monte Carlo experiments. Illustrations are presented with real and simulated data.
- ItemModelo con error de medición two-piece normal.(2019) Santoro Pizarro, Karol I.; Arellano Valle, Reinaldo Boris; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasEn este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.
- ItemLinking measurements : a bayesian nonparametric approach.(2019) Varas Cáceres, Inés María; González Burgos, Jorge Andrés; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
- ItemBayesian nonparametric hypothesis testing(2019) Pereira Hoyos, Luz Adriana; Gutiérrez, Luis; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasIn this thesis, we propose novel Bayesian Nonparametric hypothesis testing procedures for correlated data. First, we develop and study a proposal for comparing the distributions of paired samples. Next, we propose and analyze a hypothesis testing procedure for longitudinal data analysis. Both proposals are based on a flexible model for the joint distribution of the observations. The flexibility is given by a mixture of Dirichlet processes. Besides, for setting up the hypothesis testing procedures, we use a hierarchical representation with a spike-slab prior specification for the base measure of the Dirichlet process and a prior specification on the space of models. For the paired sample test, we use an appropriate parametrization for the kernel of the mixture to facilitate the comparisons and posterior inference. Consequently, the joint model allows us to derive the marginal distributions and test whether they differ or not. The procedure exploits the correlation between samples, relaxes the parametric assumptions, and detects possible differences throughout the entire distributions. For the longitudinal data, we propose to use a mixture of Dependent Dirichlet Processes to capture the correlation between the repeated measurements. The weights of the mixture are built via a stick-breaking prior, that comes from a Markovian process evolving in time. The effect of the predictors is modeled by the underlying atoms. The proposal can provide an estimation of the density through the time for different levels of the predictors, and at the same time can identify the effect of the predictors, without assuming restrictive distributional assumptions. We show the performance throughout the document of our proposals in illustrations with simulated and real data sets. Finally, we provide concluding remarks and discuss open problems.
- ItemFlexible bayesian inference for families of random densities.(2020) Galasso Díaz, Bastián; González Burgos, Jorge Andrés; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasA main goal of this thesis is to propose and study novel flexible Bayesian models for setups that entail families of random densities. Two specific contexts will be examined: one involves phase-varying point processes, whereas the other involves functional principal component analysis. The common denominator underlying these contexts is the need to model families of random measures to each of which corresponds a different data generating process. On both contexts, prior processes will be used so to devise priors on the target objects of interest. In more detail, one context entails separating amplitude variation from phase variation in a multiple point process setting. In this framework, I pioneer the development of priors on spaces of warping maps by proposing a novel Bayesian semiparametric approach for modeling registration of multiple point processes. Specifically, I develop induced priors for warp maps via a Bernstein polynomial prior so to learn about the structural measure of the point process and about the phase variation in the process. Theoretical properties of the induced prior, including support and posterior consistency, are established under a fairly mild proviso. Also, numerical experiments are conducted to assess the performance of this new approach; finally, a real data application in climatology illustrates the proposed methodology. The other context that will be considered in this thesis involves modeling families of random densities using functional principal component analysis through the so-called Karhunen–Loève decomposition. For this, I develop a data-driven prior based on the Karhunen–Loève decomposition which can be used to borrowing strength across samples. The proposed approach defines a prior on the space of families of densities. Theoretical properties are developed to ensure that the trajectories from an infinite mixture belong to L 2 which is a necessary condition for the Karhunen–Loève decomposition to hold. Numerical experiments are conducted to assess the performance of the proposed approach against competing methods, and we offer an illustration by revisiting Galton’s height parents dataset.
- ItemRegresión lineal con errores localmente estacionarios LSMA.(2020) Piutrin Pizarro, Carlos Alberto; Palma M., Wilfredo; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
- ItemStatistical methods for the analysis of Polytomous response data in non-cognitive tests(2021) Calderón Maldonado, Francisca Loreto; González Burgos, Jorge Andrés; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasIn psychology, education, and other social science disciplines, questionnaires and surveys are useful instruments to measure latent variables such as behaviors, ability, or perceptions about specific constructs. Measuring latent traits, abilities, and in general, any type of nonobservable variables is much more complicated than measuring observable features. Latent variables cannot be measured directly but only indirectly through multiple observed variables called indicators (i.e., observed variables of either polytomous or dichotomous type). The scores on items in the questionnaires can be considered indicators of latent variables and are thus used to measure the unobserved constructs of interest. The main theme of this dissertation is the study and implementation of statistical models and methods for the analysis of polytomous response data in non-cognitive tests. Polytomous data arise when items are scored in more than two categories (e.g., strongly disagree, disagree, agree, strongly agree), as in surveys and questionnaires. We have adapted and extended existing statistical models and methods to meet the requirements of various approaches based on polytomous data. The empirical data sets used for the applications of the models are meant as exemplars of a broader category and a more extensive range of domains.
- ItemOn accumulation points of volumes of stable surfaces with one cyclic quotient singularity(2021) Torres Valencia, Diana Carolina; Urzúa Elia, Giancarlo A.; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasThe set of volumes of stable surfaces does have accumulation points. In this paper, we study this phenomenon for surfaces with one cyclic quotient singularity, towards answering the question under which conditions we can still have boundedness. Effective bounds allow listing singularities that might appear on a stable surface after fixing its invariants. We find optimal inequalities for stable surfaces with one cyclic quotient singularity, which can be used to prove boundedness under certain conditions. We also introduce the notion of generalized T-singularity, which is a natural generalization of the well-known T-singularities. By using our inequalities, we show how the accumulation points of volumes of stable surfaces with one generalized T-singularity are formed.
- ItemSpatiotemporal modeling of count data(2021) Morales Navarrete, Diego Fabián; Castro Cepero, Luis Mauricio; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasModeling spatial and spatio-temporal data is a challenging task in statistics. In many applications, the observed data can be modeled using Gaussian, skew-Gaussian or even restricted random field models. However, in several fields, such as population genetics, epidemiology, aquaculture, among others, the data of interest are often count data, and therefore the mentioned models are not suitable for the analysis of this type of data. Consequently, there is a need for spatial and spatio-temporal models that are able to properly describe data coming from counting processes. Commonly two approaches are used to model this type of data: generalized linear mixed models (GLMMs) with Gaussian random field (GRF) effects, and copula models. Unfortunately, these approaches do not give an explicit characterization of the count random field such us their q-dimensional distribution or correlation function. It is important to stress that GLMMs models induces a discontinuity in the path. Therefore, the correlation function is not continuous at the origin and samples located nearby are more dissimilar than in the continuous case. Moreover, there are cases in which the copula representation for discrete distributions is not unique, so it is unidentifiable. Hence, to deal with the latter mentioned issues, we propose a novel approach to model spatial and spatio-temporal count data in an efficient and accurate manner. Briefly, starting from independent copies of a “parent” GRF, a set of transformations can be applied, and the result is a non-Gaussian random field. This approach is based on the characterization of count random fields that inherit some of the well-known geometric properties from GRFs. For instance, if one chooses an isotropic correlation function defined in the parent GFR, then the count random fields have an isotropic correlation function. Firstly, we define a general class of count random fields. Then, three particular count random fields are studied. The first one is a Poisson random field, the second one is a count random field that considers excess zeros and the last one is a count random field that considers over-dispersion. Additionally, a simulation study will be developed to assess the performance of the proposed models. In that way, we are going to evaluate them through several simulation scenarios, making variations in the parameters. The results show accurate estimations of the parameters for different scenarios. Additionally, we assess the performance of the optimal linear prediction of the proposed models and it is compared with GLMMs and copula models. The results show that the proposed models have a better performance than GLMMs models and a quite similar performance with copula models. Finally, we analyze two real data applications. The first one considers a zero inflated version of the proposed Poisson random field to deal with excess zeros and the second one considers an over-dispersed count random field.
- ItemProblemas sobre flujos por curvatura extrínseca no lineales(2023) Torres Santaella, José Gabriel; Sáez Trumper, Mariel; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasUn flujo geométrico consiste en encontrar soluciones de ecuaciones parabólicas en derivadas parciales que involucran cantidades geométricas de dos o más variedades dadas. En el caso de los flujos geométricos extrínsecos, las soluciones corresponden a una familia de un parámetro de inmersiones cuyas deformaciones dependen de las curvaturas de la hipersuperficie en una variedad riemanniana ambiente. El flujo geométrico extrínseco más estudiado en la literatura es el flujo por la curvatura media (FCM), ya que es el flujo gradiente del funcional de área. En la Introducción de esta tesis presentamos una breve descripción del FCM actuando sobre hipersuperficies en Rn+1. En particular, queremos mencionar el trabajo pionero de Huisken en [Hui2] que demostró que cualquier hipersuperficie cerrada y convexa en Rn+1, en el sentido de que las curvaturas principales son no negativas, se encoge al evolucionar por FCM hasta un punto en tiempo finito. Este fenómeno se suele denominar como desarrollo de una singularidad bajo el FCM, y es una tarea importante entender por qué aparecen singularidades, y cómo tratar con ellas luego de rescalar la hipersuperficie cerca de la singularidad. Por otra parte, es natural preguntarse qué ocurre si consideramos otras funciones de curvatura en lugar de la curvatura media en el contexto de flujos geométricos extrínsecos. En este espíritu, los trabajos de B. Andrews y sus colaboradores en [And2], [And1], [AMZ] y [ALM] desarrollaron una potente teoría, similar a la dada para el FCM, para hipersuperficies estrictamente convexas en Rn+1, donde la función de curvatura es convexa o cóncava. Por función de curvatura entendemos una función homogénea suave y simétrica cuyo dominio es un cono abierto de Rn. En esta tesis nos interesamos en soluciones eternas, soluciones que están definidas para todo tiempo, de flujos por curvatura extrínseca completamente no lineales tal que la evolución está dada por traslaciones en una dirección unitaria fija. Además, nos referimos a estas soluciones por solitones de traslación de la función de curvatura que estemos estudiando.Los solitones de traslación pueden verse como hipersuperficies en Rn+1 que satisfacen una ecuación diferencial parcial de la forma () = h⌫, vi, donde () es la función de curvatura evaluada en las curvaturas principales de la hipersuperficie, ⌫ es el vector normal unitario que apunta hacia afuera de la hipersuperficie (mirar Remark 5.0.1), y v 2 Sn (normalmente v = en+1) es la dirección de la traslación del flujo. Es importante destacar que esta ecuación es localmente uniforme elíptica cuando las curvaturas principales pertenecen al cono := ⇢ 2 Rn : () > 0, @ @i > 0. Esto nos permite estudiar los trasladores como en el contexto de la geometría diferencial clásica. Por otro lado, cuando la función de curvatura es la curvatura media, los trasladores son un modelo para las singularidades de tipo II del FCM. Esto significa que el supremo de la norma de la segunda forma fundamental estalla en una tasa mayor que O ✓ 1 pT t ◆, donde T es el tiempo máximo de existencia del flujo, y luego de escalar la hipersuperficie de manera adecuada, la evolución de la hipersuperficie converge a un H-traslador del espacio ambiente. Además, los trasladores del FCM son hipersuperficies mínimas en (Rn+1, ehx,vi dx2). Este es un hecho notable para el estudio de estas soluciones ya que la teoría local de hipersuperficies mínimas se puede aplicar para construirlas y caracterizarlas. Desgraciadamente, cuando la función de curvatura no es lineal, sólo se sabe que las singularidades de tipo II pueden modelarse mediante trasladores si además la función de curvatura es convexa como función definida en su dominio. Además, no tenemos esperanzas de que estas hipersuperficies sean mínimas en un espacio euclidiano conforme como en el caso de la curvatura media. Por ello, el estudio de los trasladores para funciones de curvatura no lineales es más complicado, y necesita que se desarrollen otro tipos de técnicas para el desarrollo de esta teoría. Los resultados de esta tesis están en el espíritu de explotar el hecho de que la ecuación () = h⌫, vi es localmente. Uniformemente elíptica cuando 2 . En particular, pudimos desarrollar propiedades geométricas para los trasladores contenidas en el capítulo 5. Una de las propiedades geométricas que obtuvimos fue un principio de tangencia, y como corolarios, también obtuvimos un resultado de no existencia, y un teorema de unicidad cuando el solitón de traslación es un grafo estrictamente convexo definido sobre una bola (mirar Teorema 5.0.5). Este último resultado se obtuvo mediante el método de los planos móviles de Alexandrov aplicado para esta ecuación. Por otra parte, el resultado principal de esta tesis es una estimación de convexidad en el espíritu de [SS], donde los autores mostraron que un H-traslador 2-convexo con H > 0 en Rn con n 3, es convexo. Hasta donde sabemos, sigue siendo un problema abierto si un -traslador que es un gráfico en Rn+1 tal que 2 y : ! R es una función de curvatura cóncava es convexo o no. Afortunadamente, bajo las hipótesis del Teorema de estimación de convexidad 2.2.12, pudimos demostrar que para una función de curvatura estrictamente concava, los -solitones de traslación que son uniformente 2-convexos cuyas curvaturas principales satisfacen ↵H ( + 1) para constantes ↵ y positivas, se tiene que el mínimo de las curvaturas principales es asintóticamente cero al infintio del soliton de traslación. Además, para la familia de las funciones de curvatura Qk = Sk+1 Sk, donde Sk denota el polinomio simétrico elemental de grado k en n-variables, mostramos en el Capítulo 3 estimaciones de gradiente y de segundo orden en el espíritu del trabajo de Ecker y Huisken en [EH1]. La principal contribución de este capítulo es un resultado de tipo Liouville Teorema 3.0.3 para Qk-trasladores que son planos en el infinito. Finalmente, también construimos trasladores rotacionalmente simétricos para la función de curvatura pn Sn y Qn1 en Rn+1. Estas soluciones son de tipo “bowl” ya que son gráficos estrictamente convexos definidos en una bola o en todo Rn. Merece la pena mencionar un trabajo reciente de [Ren], en el que el autor construye soluciones de tipo “bowl” para una clase general de funciones de curvatura que son ↵-homogéneas con ↵ 1. 2 . Además, caracterizó cuándo la solución de tipo “bowl” estará definida en una bola o en todo el hiperplano en términos de la función de curvatura.
- ItemInference from RDS data over Directed Networks(2023) Sepúlveda Peñaloza, Alejandro Adrián; Beaudry, Isabelle; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticaEl muestreo dirigido por los encuestados (Respondent-Driven Sampling, RDS) es una técnica utilizada para recolectar datos de poblaciones humanas socialmente conectadas que no tienen un marco de muestreo definido. Un paso fundamental para realizar inferencias basadas en el diseño de datos RDS es estimar las probabilidades de muestreo. Tradicionalmente, se ha asumido que una cadena de Markov de primer orden sobre una red completamente conectada y no dirigida representa adecuadamente el RDS. Sin embargo, este modelo simplificado no tiene en cuenta que la red puede ser dirigida y homofílica. Este trabajo propone métodos para abordar estos problemas y estimar la prevalencia de un estado de infección en redes de este tipo.Las principales contribuciones metodológicas de esta tesis son tres: primero, la introducción de un modelo de configuración de red parcialmente dirigida y homofílica; segundo, el desarrollo de dos representaciones matemáticas del proceso de muestreo RDS en el modelo propuesto; y tercero, la propuesta de un modelo bayesiano que considera una red dirigida y el número de conexiones entre nodos infectados y no infectados para estimar la prevalencia del estado de infección.Se realizaron estudios de simulación para demostrar que las probabilidades de muestreo resultantes con nuestras propuestas son similares a las del RDS tradicional, mejorando la estimación de prevalencia bajo diversos escenarios realistas, asumiendo que dichas probabilidades son conocidas. La estimación de la prevalencia del estado de infección se realiza bajo fuertes suposiciones sobre la red, como la ausencia de homofilia o la dirección de los bordes.Para la aplicación del modelo, se utilizó la teoría de copulas, el modelamiento de distribuciones marginales y un modelo de superpoblación para estimar información a partir de datos no observados de la red. Las simulaciones realizadas mostraron una mejora en la estimación de la prevalencia del estado de infección en términos de sesgo y variabilidad utilizando datos de RDS.
- ItemFibred non-hyperbolic quadratic families(2024) Domínguez Calderón, Igsyl; Ponce Acevedo, Mario; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasThe aim of this thesis is two-folding. In the initial instance, we have made signifIcant progress in the problem of density of hyperbolic components within the context of fibred quadratic polynomial dynamics by demonstrating the existence of robust non- hyperbolic fibred quadratic polynomials. Secondly, we present a more complex class of invariant sets that are distinct from the invariant curves for fibred polynomial dynamics, called multi-curves. Furthermore, a construction for multi-curves in quadratic polynomial dynamics is shown, resulting in the attainment of not only invariant multi-curves, but also with the characteristic of being attracting.
- ItemProblems on conformal invariance and Yamabe-Type flows(2024) Espinal Florez, María Fernanda; Sáez Trumper, Mariel; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasThis work is specifically focused on the study of quantities in Riemannian geometry under a conformal change of metric, that is, under changes of metric which stretch the length of vectors but preserve the angle between any pair of vectors. In this context, my thesis work has centered on the study of symmetric polynomials σk of the eigenvalues of the Schouten tensor, which satisfy a tranformation law under conformal changes. This work consists of two parts. The rst problem concentrates on Yamabe-type ows for σk-curvature, which are classic examples of intrinsic non-linear geometric ows. Inspired by work of Daskalopoulos and Sesum [22], we investigate the existence and classi cation of conformally at rotationally symmetric k-Yamabe gradient solitons replacing scalar curvature by σk-curvature. Our rst result reduces the classi cation of k-Yamabe solitons to the classi cation of global smooth solutions of a fully nonlinear elliptic equation. Regarding the existence result, through a phase-plane analysis of an autonomous system of ordinary equations as in [71], we were able to prove local existence of the ow under conditions of admissibility for the initial metric when n ≥ 2k. Additionally, we had to analyze the asymptotic behavior and solution pro le in each case, taking into account, especially the admissibility of the solution. In contrast with the classical case, the fully non-linear nature of the problem requires additional restrictions (to ensure admissibility) and a more delicate analysis. On the other hand, in collaboration with Professor M. González [27] we work on the k-Yamabe singular problem. The research was focused on constructing metrics with constant σ2-curvature and non-isolated singularities. Speci cally, we contructed a complete non-compact Riemannian metrics with positive constant σ2-curvature on the sphere Sn with a prescribed singular set Λ given by a disjoint union of closed submanifolds whose dimension is positive and strictly less than n−√n−2 2 . This is a fully non-linear problem, nevertheless, we show that the classical gluing method (used by Mazzeo-Pacard for the scalar curvature [56]) still works in this setting since the linearized operator has good mapping properties in weighted spaces. The idea to construct this metric is to nd rst an approximate metric with the right asymptotic behavior near the singularity. Even though many of our arguments would work for a general k, we have some computational di culties that restrict our theorem to k = 2.
- ItemSubshifts on groups and computable analysis(2024) Carrasco Vargas, Nicanor; Rojas González, Luis Cristóbal; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasSubshifts are a fundamental class of topological dynamical systems. The study of subshifts on groups different from $\mathbb{Z}$, such as $\mathbb{Z}^d$, $d\geq 2$, has been a subject of intense research in recent years. These investigations have unveiled aremarkable connection between dynamics and recursion theory. That is, different questions about the dynamics of these systems have been answered in recursion-theoretical terms. In this work we further explore this connection. We use the framework of computable analysis to explore the class of effective dynamical systems on metric spaces, and relate these systems to subshifts of finite type (SFTs) on groups. We prove that every effective dynamical system on a general metric space is the topological factor of an effective dynamical system with topological dimension zero. We combine this result with existing simulation results to obtain new examples of systems that are factors of SFTsWe also study a conjugacy invariant for subshifts on groups called Medvedev degree. This invariant is a complexity measure of algorithmic nature. We develop the basic theory of these degrees for subshifts on arbitrary finitely generated groups. Using these tools we are able to classify the values that this invariant attains for SFTs and other classes of subshifts on several groups. Furthermore, we establish a connection between these degrees and the distribution of isolated points in the space of all subshifts. Motivated by the study of Medvedev degrees of subshifts, we also consider translation-like actions of groups on graphs. We prove that every connected, locally finite, and infinite graph admits a translation by $\mathbb{Z}$, and that this action can be chosen transitive exactly when the graph has one or two ends. This generalizes a result of Seward about translation-like action of $\mathbb{Z}$ on finitely generated groups. Our proof is constructive, and allows us to prove that under natural hypotheses, translation-like actions by $\mathbb{Z}$ on groups and graphs can be effectively computed.